\documentclass[b4paper,twocolumn,fleqn]{jarticle}
\usepackage{epic,eepic,eepic2,amssymb,amsmath,picins,mathtips,wrapfloat,schlmath}
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%%%%%%%%%% 角藤版は{timesnewp.sty} %%%%%%%%%%%
%\usepackage{timesnewp}
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\Shiken%% 試験用の余白が少ない設定
\setlength{\columnseprule}{0.4pt}
\setlength{\columnsep}{1zw}
\setlength{\mathindent}{40pt}
\pagestyle{empty}
\def\HIDDEN{0}
\def\LabelNo{\KANA\theLocalNumber\hskip 1pt plus 5pt minus 1pt}
\def\MTab{\hspace{1cm}}
\def\Tab{\hskip30pt}
\def\LabelToi{{\bf 第\theToi 問} }
\def\LabelSubToi{[\,\theSubToi\,] }
\def\LabelSubSubToi{(\theSubSubToi) }
\BoxLineHuto%空欄の枠を太くする。
%\setlength{\fboxrule}{1.0pt}%囲み罫線の太さを変える　標準は{0.4pt}
\def\LP{\left(}
\def\RP{\right)}
\def\Lp{\left[}
\def\Rp{\right]}
\def\HS{\hskip 1cm minus 0.8cm}
\def\lP{\left\{}
\def\rP{\right\}}
\def\Neq{\;{\ooalign{\hfil$\setminus$\hfil\crcr$=$}}\;}%%% \neq の代わり＝＼
%平行は $l\,/\!/ \,m$ でできる
\newcommand{\Arc}[1]{\overset{\rotatebox{90}{\Big)}}{#1}}
%graphicsを読み込むこと　例 $\Arc{\text{C}\text{C}_1}$と　例 $\Arc{\text{C}\text{C}_1}$
\begin{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
%	空欄の高さを変更した
%
\def\BoxHeight{.8}
\twocolumn[\TitleNoName{H15センター数学I・A  2003/01/18　NO.1}]
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\Toi {\bf (必答問題)}(配点~40)
%%%%%%%
\SubToi 2 次関数
	\[ y = -2x^2+ax+b \]
のグラフを $C$ とする。$C$ は頂点の座標が
	\[ \LP \FRAC{a}{\NO},\ \FRAC{a^2}{\NO}+b \RP \]
の放物線である。$C$ が点 $(3,\ -8)$ を通るとき，
	\[ b=\NNO\,a+10 \]
が成り立つ。このときグラフ $C$ を考える。

%%%%%
\SubSubToi $C$ が $x$ 軸と接するとき，$a=\NO$ または $a=\NNO$ である。

$\ResetNo[-2] a=\NNO$ のとき放物線は，$\ResetNo[4] a=\NO$ のときの放物線を $x$ 軸方向に $\ResetNo[7] \NO$ だけ平行移動したものである。\vfill

%%%%%
\SubSubToi $C$ の頂点の $y$ 座標の値が最小になるのは，$a=\NNO$ のときで，このときの最小値は $\NNO$ である。\vfill

%%%%%%%
\SubToi 

	\hspace{2cm}\PIC{0}{400}{0}{320}{
		%\thicklines
		\path(0,200)(100,300)(300,300)(200,200)(0,200)(0,0)(200,0)(200,200)
		\path(200,0)(300,100)(300,300)
		\dashpath(0,0)(100,100)
		\dashpath(100,100)(300,100)
		\dashpath(100,100)(100,300)
		\put(-10,190){\makebox(0,0)[rt]{A}} % <-1mm, 1mm>
		\put(190,190){\makebox(0,0)[rt]{B}} % <-1mm, 1mm>
		\put(300,300){\makebox(0,0)[lb]{C}} % < 1mm, 1mm>
		\put(100,300){\makebox(0,0)[rb]{D}} % <-1mm, 1mm>
		\put(  0,  0){\makebox(0,0)[rt]{E}} % <-1mm,-1mm>
		\put(200,  0){\makebox(0,0)[lt]{F}} % < 1mm,-1mm>
		\put(300,100){\makebox(0,0)[lb]{G}} % < 1mm, 0mm>
		\put(100,100){\makebox(0,0)[rb]{H}} % <-1mm, 1mm>
	}

\bigskip
1 辺の長さが 1 の立方体の 8 個の頂点 A,\ B,\ C,\ D,\ E,\ F,\ G,\ H が図のような位置関係にあるとする。この 8 個の頂点から相異なる 3 点を選び，それらを頂点とする三角形をつくる。
%%%%%
\SubSubToi 三角形は全部で $\NNO$ 個できる。また，互いに合同でない三角形は全部で $\NO$ 種類ある。
\vfill

%%%%%
\SubSubToi $\SANKAKU{\rm ABC}$ と合同になる確率は $\FRAC{\NO}{\NO}$ であり，また，正三角形になる確率は $\FRAC{\NO}{\NO}$ である。
\vfill

%%%%%
\SubSubToi 三角形の面積の期待値は $\FRAC{\NO+\NO\sqrt{\,2}+\sqrt{\,3}}{\NNO}$ である。
\vfill

\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\ResetNo[0]

\Toi {\bf (必答問題)}(配点~40)

%%%%%%%
\SubToi 
\SubSubToi $p,\ q,\ r$ を実数とし，$x$ についての整式 $A,\ B$ を
	\[ A = x^3+p\,x^2+q\,x+r \]
	\[ B = x^2-3x+2  \]
   とする。

\bigskip
%%%%
$({\rm a})\ $ $A$ を $B$ で割ったときの商が $x-1$ であった。このとき，

\hskip15pt$p=\NNO$ である。\vfill

%%%%
$({\rm b})\ $ $A$ を $B$ で割ったときの余りが $x$ で割り切れた。このとき，
	\[ r=\NO\,p+\NO \]
\hskip15ptである。\vfill

$({\rm c})\ $ $A$ を $B$ で割ったとき，その商と余りが等しくなった。このとき，
	\[ q+r=\NO \]
\hskip15ptである。\vfill



\SubSubToi $a,\ b$ が実数として，次の $\NO ～ \ResetNo[8]\NO$ に，下の $\daen{0} ～ \daen{\rm G}$ のうちから当てはまるものを一つずつ選べ。\ResetNo[-4]
	\[ \LP |a+b|+|a-b| \RP ^2=2\LP a^2+b^2+\NO \RP \]
であるから，$\LP |a+b|+|a-b| \RP ^2=4a^2$ が成り立つための必要十分条件は \NO である。\ResetNo[-1] \NO でないときは
	\[ \LP |a+b|+|a-b| \RP ^2=\NO \]
となる。

　また，$\FRAC12 \LP |a+b|+|a-b| \RP=b$ が成り立つための必要十分条件は \NO である。

\[
\begin{array}{llll}
\daen{0}\ a^2 \hskip18pt & \daen{1}\ b^2 \hskip18pt & \daen{2}\ 4a^2  \hskip18pt & \daen{3}\ 4b^2  \\
\daen{4}\ ab \hskip18pt & \daen{5}\ |ab| \hskip18pt & \daen{6}\ 2ab  \hskip18pt & \daen{7}\ 2|ab| \\
\daen{8}\ a^2-b^2 \hskip18pt & \daen{9}\ b^2-a^2 \hskip18pt & \daen{\rm A}\ |a^2-b^2|  \hskip18pt & \daen{\rm B}\ a^2 \leq b^2  \\
\daen{\rm C}\ a^2 \geq b^2 \hskip18pt & \daen{\rm D}\ a\leq |b| \hskip18pt & \daen{\rm E}\ |a| \leq b  \hskip18pt & \daen{\rm F}\ a \geq |b|  \\
\daen{\rm G}\ |a| \geq b & & & 
\end{array}
\]

\vfill
%%%%%%%%%%%%%

\SubToi $\SANKAKU{\rm ABC}$ において，${\rm AB=5,\ BC=2\sqrt{\,3},\ CA=4+\sqrt{\,3}}$ とする。このとき，
	\[ \cos A=\FRAC{\NO}{\NO} \]
である。$\SANKAKU{\rm ABC}$ の面積は
	\[ \FRAC{\NNO +\NO\sqrt{\NO}}2 \]
である。

\bigskip
　B を通り CA に平行な直線と $\SANKAKU{\rm ABC}$ の外接円との交点のうち，B と異なる方を D とするとき，BD$=\NO-\sqrt{\NO}$　であり，台形 ADBC の面積は \NNO である。　\vfill

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\twocolumn[\TitleNoName{H15センター数学I・A  2003/01/18　NO.2}]
\ResetNo[0]
\def\LabelSubToi{(\theSubToi) }
\def\LabelSubSubToi{\theSubSubToi.\hskip10pt }
\Toi {\bf (選択問題)}(配点~20)
%%%%%%%%%%%%
\SubToi 等比数列 $18,\ -6\sqrt{\,3},\ 6,\ \cdots\cdots$ の第 6 項は $\FRAC{\NNO\sqrt{\NO}}{\NO}$ であり，初項から第 15 項までの奇数番目の項の和は $\FRAC{\NNNNO}{\NNNO}$ である。

\bigskip

%%%%%%%%%%%
\SubToi 数列
	\[ 1,\ 2,\ 2,\ 3,\ 3,\ 3,\ 4,\ 4,\ 4,\ 4,\ 5,\ 5,\ 5,\ 5,\ 5,\ 6,\ \cdots\cdots  \]
の第 $n$ 項を $a_n$ とする。この数列を
	\[ 1 \ |\ 2,\ 2\ |\ 3,\ 3,\ 3\ |\ 4,\ 4,\ 4,\ 4\ |\ 5,\ 5,\ 5,\ 5,\ 5\ |\ 6,\ \cdots\cdots  \]
のように $1 個,\ 2 個,\ 3 個,\ 4 個,\ \cdots\cdots $ と区画に分ける。

\bigskip
　第 1 区画から第 20 区画までの区画に含まれる項の個数は $\NNNO$ であり，$a_{215}=\NNO$ となる。また，第 1 区画から第 20 区画までの区画に含まれる項の総和は $\NNNNO$ であり，
	\[ a_1+a_2+a_3+\cdots\cdots+a_n \geq 3000 \]
となる最小の自然数 $n$ は $\NNNO$ である。
\vfill

\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\ResetNo[0]
\Toi{\bf (選択問題)}(配点~20)

　AB$=$AC である二等辺三角形 ABC の内接円を I とし，内接円 I と辺 BC の接点を D とする。辺 BA の延長と点 E で，辺 BC の延長と点 F で接し，辺 AC と接する $\Kaku{\rm B}$ 内の円の中心 $(傍心)$ を G とする。

　以下の文章中の $\NNO,\ \NNO,\ \NNO$ については，当てはまる文字を  A ～ G のうちから選べ。ただし {\bf オ}と{\bf カ} は解答の順序を問わない。

\bigskip


\PIC{-100}{600}{-100}{700}{
		\put(300,200){\circle{400}}
		\put(300,200){\circle*{5}}
		\put(113,273){\circle*{5}}
		\put(0,0){\circle*{5}}
		\put(300,0){\circle*{5}}
		\put(166,0){\circle*{5}}
		\put(83,200){\circle*{5}}
		\path(0,0)(600,0)
		\path(0,0)(300,725)
		\path(83,200)(166,0)
		\put( 78,200){\makebox(0,0)[rb]{A}}
		\put( 0,-10){\makebox(0,0)[t]{B}}
		\put( 166,-10){\makebox(0,0)[t]{C}}
		\put( 105,273){\makebox(0,0)[rb]{E}}
		\put( 300,-10){\makebox(0,0)[t]{F}}
		\put( 310,190){\makebox(0,0)[lt]{G}}
	}

\ResetNo[0]
\SubToi AD$=$GF が成り立つことを示そう。
	\[{\rm  2\Kaku{}EAG =\Kaku{}E\NNO =\Kaku{}ABC+\Kaku{}B\NNO=2\Kaku{}ABC }\]
であるから，${\rm \Kaku{}EAG=\Kaku{}ABC}$ となる。したがって，直線 \NNO と直線 BF は平行である。
さらに，A,\ I,\ D は一直線上にあって，
	\[{\rm  \Kaku{}ADC =\Kaku{}GFD=\NNO \DEG }\]
であるから，四角形 ADFG は \NO となる。よって，AD$=$GF である。
ただし，\NO[-1] には，次の $\daen{0}～\daen{3}$ のうちから最もふさわしいものを選べ。
\[
\begin{array}{lllll}
\daen{0}\ 正方形  \hskip10pt & \daen{1}\ 台　形 \hskip10pt & \daen{2}\ 長方形 & \hskip10pt & \daen{3}\ ひし形
\end{array}
\]

\SubToi ${\rm AB=5,\ BD=2}$ のとき，IG の長さを求めよう。

まず，AD$=\sqrt{\NNO}$ であり，
	\[ {\rm AI} =\FRAC{\NO\ResetNo[-3]\sqrt{\NNO}}{\ResetNo[12]\NO} \]
となる。また，${\rm \Kaku{}AGI=\Kaku{}CBI=\Kaku{}ABI}$ であるから，AG$=\NO$ となり，
	\[ {\rm IG} =\FRAC{\NO\sqrt{\NNO}}{\NO} \]
である。

\vfill

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\twocolumn[\TitleNoName{H15センター数学I・A  2003/01/18　NO.3}]
\ResetNo[0]
\Toi {\bf (選択問題)}(配点~20)

　下のプログラムは，自然数 $N$ を入力して，\NO を小さい順に ${\tt a(1)=\ ,\ a(2)=\ ,\ \cdots}$ と表示し，さらにそれらの和を ${\tt S=\ }$ と表示するものである。ただし，このプログラムにおいて，${\tt INT(A)}$ は ${\tt A}$ を越えない最大の整数を表す。
\ResetNo[0]

　\NO に当てはまるものを，次の $\MARU0 ～ \MARU3$ のうちから一つ選べ。

$\MARU{0}\ \ N$ 以下の正の奇数で 3 の倍数であるもの

$\MARU{1}\ \ N$ 以下の正の奇数で 3 の倍数でないもの

$\MARU{2}\ \ N$ 以下の正の偶数で 3 の倍数であるもの

$\MARU{3}\ \ N$ 以下の正の偶数で 3 の倍数でないもの

	\medskip
	\hskip50pt
	%\leavevmode
	\hbox{\vbox{
		\hbox{\verb|100 S=0|}
		\hbox{\verb|110 T=0|}
		\hbox{\verb|120 INPUT "N=";N|}
		\hbox{\verb|130 FOR K=1 TO N|}
		\hbox{\verb|140 IF INT(K/2)=K/2 THEN GOTO 190|}
		\hbox{\verb|150 IF INT(K/3)=K/3 THEN GOTO 190|}
		\hbox{\verb|160 T=T+1|}
		\hbox{\verb|170 S=|\NO}
		\hbox{\verb|180 PRINT "a(";|\NO \verb|;")=" ;|\NO}
		\hbox{\verb|190 NEXT K|}
		\hbox{\verb|200 PRINT "S=";S|}
		\hbox{\verb|210 END|}
	}}

%%%%%%
\SubToi \ResetNo[1]\NO ～\ResetNo[3]\NO に当てはまるものを，次の $\MARU0～\MARU5$ のうちから一つずつ選び，プログラムを完成させよ。
\[
\begin{array}{llll}
\MARU{0}\ {\tt A}  \hskip50pt & \MARU{1}\ {\tt K} \hskip50pt & \MARU{2}\ {\tt S} \\
\MARU{3}\ {\tt T}  \hskip50pt & \MARU{4}\ {\tt S+1} \hskip50pt & \MARU{5}\ {\tt S+K} \\
\end{array}
\]

\SubToi このプログラムを実行して，$N$ として 10 を入力すると，${\tt a(1)}$ から ${\tt a\LP \NO \RP }$ までと
${\tt S=\NNO}$ が表示される。このとき，{\tt 150} 行は \NO 回実行され，そのうち \NO 回は {\tt 160} 行の実行に進んだ。

\SubToi 最初のプログラムで {\tt 140} 行を

$\hbox{\verb|140 IF INT(K/2)<K/2 THEN GOTO 160|}$

と変更したのち，$N$ として 10 を入力すると ${\tt a(1)}$ から ${\tt a\LP \NO \RP }$ までと
${\tt S=\NNO}$ が表示される。

\vfill

\end{document}